 |
| |||||||
| Kayıt ol | Yardım | Üye Listesi | Ajanda | Bugünki Mesajlar | Arama |
| Matematik - Geometri Matematik ödevleri,Geometri ödevleri... |
 | ||
 |
| | LinkBack  | Seçenekler |
08.08.08, 14:34
| #1 (permalink) | ||
 Kare Köklü İfadeler KAREKÖKLÜ İFADELER n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur. Örnekler: · n = 2 için Öa : Karekök a, · n = 3 için Öa : Küpkök a, · n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir. N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır. Örnekler · x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz. Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir. Soru-1 A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir? Çözüm Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan, x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0 Þ x³3 ve 5³x Þ 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir. Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması Öa = am/n dir. Örnek: · Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür. Soru-2 Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır? Çözüm Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2) Þ 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2) Þ 2x/3 = 2(-2x+1)/(2) Þ x/3 = (1 – 2x)/(2) Þ x = 8/3 dir. Köklü İfadenin Üssünün Alınması Tanımlı olduğu durumlarda, (Öa )m = Öam Örnekler: · (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16 · (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir. n Î Z+ olmak üzere, a , n tek sayı Öan = ½a½ , n çift sayı Örnekler: · Ö125 = Ö53 = 5, · Ö-8 = Ö(-2)3 = -2 · Ö1/32 = Ö(1/2)5 = ½ · Ö16 = Ö24 = ½2½ = 2 · Ö(Ö3 – 2)2 = ½Ö3 - 2½ olur. Burada Ö3 - 2 < 0 olduğundan, ½Ö3 - 2½ = -(Ö3 – 2) = 2 - Ö3 ·Ö26 = Ö(22)3 = 4 ·Ö27/32 = Ö(3.32)/(2.42) = 3/4Ö3/2 Soru-3 Ö243 / Ö0,0048 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm Ö243 / Ö0,0048 = Ö3.34 / Ö48.10-4 = 3.Ö3 / Ö3.24.(10-1)4 = 3.Ö3 / 2.10-1.Ö3 = 3.10 / 2 = 15 tir. Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir. a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn) Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır. Örnekler: · Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6 · x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy · -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür. Soru-4 A=(Ö5-3)Ö7+3Ö5 olduğuna göre, A kaçtır? Çözüm Ö5-3 < 0 olduğundan, A = (Ö5 – 3)Ö7+3Ö5 = -(3-Ö5)Ö7+3Ö5 = -Ö(3-Ö5)2 .(7+3Ö5) = -Ö(14-6Ö5)(7+3Ö5) = -Ö2(7-3Ö5).(7+3Ö5) = -Ö2[72 – (3Ö5)2] = -Ö2.4 = -2Ö2 dir. Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir. k Î Z+ olmak üzere Öan = Öan.k = Öan/k Örnekler: · Ö32 = Ö25 = Ö2 · Ö3 = Ö32 = Ö9 · Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16 · Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir. Soru-5 x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5 sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır? Çözüm X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre: x = Ö2 = Ö26 = Ö264 y = Ö3 = Ö34 = Ö81 z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve 125>81>64 olduğundan z>y>x tir. Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır. xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi. Örnekler: · Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı) · Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı) · 3Ö5 +Ö5 -2Ö5 = (3+2-1)Ö5 = 2Ö5 tir. Soru-6 Ö48 + Ö12 - Ö27/4 işleminin sonucu nedir? Çözüm Ö48 + Ö12 - Ö27/4 = Ö3.42 + Ö3.22 - Ö(3.32)/(22) = 4Ö3 + 2Ö3 – 3/2Ö3 = (4+2-3/2)Ö3 = 9/2Ö3 tür. Soru-7 Ö8 + Ö-128 + Ö16 işleminin sonucu nedir? Çözüm Ö8 + Ö-128 + Ö16 = Ö23 + Ö2.(-4)3 + Ö24 = Ö2 - 4Ö2 + Ö2 = (1-4+1)Ö2 = -2Ö2 Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır. Tanımlı olduğu durumlarda: Öa . Öb = Öa.b Öa / Öb = Öa/b Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir. Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir. Örnek: · (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir. Soru-7 Ö2 . Ö16 işleminin sonucu nedir? Çözüm Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse, Ö2 . Ö16 = Ö2 . Ö24 = Ö25 . Ö24.3 = Ö25 . 212 = Ö217 = Ö215 . 22 = 2Ö4 tür. Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması) 1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır. a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir. Örnekler · a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b) · 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2 · 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6) 2-)a/(Öb-Öc) şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb+Öc ile, a/(Öb+Öc) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb-Öc ile çarpılır. (x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan (Öb - Öc)(Öb + Öc) = (Öb)2 – (Öc)2 = b – c dir. Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur. a/(Öb-Öc) = [a/(Öb-Öc)].[(Öb+Öc)/(Öb+Öc)] = [a(Öb+Öc)] / [b-c] a/(Öb+Öc) = [a/(Öb+Öc)].[(Öb-Öc)/(Öb-Öc)] = [a(Öb-Öc)] / [b-c] dir. Örnek: · 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2 · 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3 Soru-8 3/Ö4-Ö7 ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 3/Ö4-Ö7 = (3/Ö4-Ö7).(Ö4+Ö7)/(Ö4+Ö7) = (3Ö4+Ö7)/Ö42 – (Ö7)2 = (3Ö4+Ö7)/Ö9 = Ö4+Ö7 dir. Not: n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır. Soru-8 1/(Ö2-1) ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 1/(Ö2-1) = [1/(Ö2-1)].[(Ö2+1)/(Ö2+1)] = [Ö2+1]/[(Ö2)2-11] = (Ö2 + 1) / (Ö2 – 1) = [(Ö2+1)/(Ö2-1)].[(Ö2-1)/(Ö2-1)] = (Ö2+1)(Ö2+1) dir. 3-) a/Öb - Öc şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb2 + Öbc + Öc2 ile çarpılır. (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan, (Öb - Öc )(Öb2 + Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 – (Öc )3 = b – c dir. Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur. a / (Öb - Öc ) = [a / (Öb - Öc )].[(Öb2 + Öbc + Öc2 ) / (Öb2 + Öbc + Öc2 )] = [a(Öb2 + Öbc + c2 )] / [b - c] a/Öb + Öc şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb2 - Öbc + Öc2 ile çarpılır. (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan, (Öb + Öc )(Öb2 - Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 + (Öc )3 = b + c dir. Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur. a / (Öb + Öc ) = [a / (Öb + Öc )].[(Öb2 - Öbc + Öc2 ) / (Öb2 - Öbc + Öc2 )] = [a(Öb2 - Öbc + c2)] / [b + c] Örnek: · 1 / (Ö5 - Ö3 ) = [1 / (Ö5 - Ö3 )].[(Ö52 + Ö5.3 + Ö32 ) / (Ö52 + Ö5.3 + Ö32 )] = [Ö25 + Ö15 + Ö9 ] / [(Ö5 )3 – (Ö3 )3] = (Ö25 + Ö15 + Ö9 ) / 2 Soru-10 1 / (Ö9 + Ö6 + Ö4) ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 1/(Ö9+Ö6+Ö4) = [1 / (Ö32 + Ö3.2 + Ö22 )].[(Ö3 - Ö2 )/(Ö3 - Ö2 )] = [Ö3 - Ö2]/[(Ö3)3 – (Ö2)3 = Ö3 - Ö2 dir. İç İçe Kökler 1-) Öx + 2Öy veya Öx - 2Öy şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için, x = a + b olmak üzere y = a . b · Öx + 2Öy = Ö(Öa + Öb )2 = ½Öa + Öb½ a+b a.b · Öx - 2Öy = Ö(Öa - Öb )2 = ½Öa - Öb½ a+b a.b Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır. Örnekler: · Ö4 + 2Ö3 = Ö3 + Ö1 = Ö3 + 1 · Ö7 - 2Ö12 = ½Ö4 - Ö3½ = 2 - Ö3 tür. Soru-11 Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 işleminin sonucu nedir? Çözüm 1 Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 = Ö[2(3 + Ö5)] / 2 - Ö[2(3 - Ö5)] / 2 = [(Ö6 + 2Ö5) / Ö2] – [(6 - 2Ö5) / Ö2] = [(Ö5 + 1) / Ö2] – [(Ö5 – 1) / Ö2] = (Ö5 + 1 - Ö5 + 1) / Ö2 = Ö2 Çözüm 2 Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım x = Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5 x2 = (Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5 )2 x2 = (Ö3+Ö5 )2 +(Ö3-Ö5 )2-2Ö(3+Ö5)(Ö3-Ö5) x2 = 3 + Ö5 + 3 - Ö5 - 2Ö32-(Ö5)2 x2 = 6 - 2Ö4 Þ x2 = 2 olur. x = Ö3+Ö5 -Ö3-Ö5 > 0 olduğundan x = Ö2 dir. Not: a>0 , b>0 ve a2>b olmak üzere, Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] + [Ö(a+Öa2-b)/(2) Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] - [Ö(a+Öa2-b)/(2) 1-) ÖÖÖa = Öa dır. (m.n.t çift sayı ise a>0 olmalıdır.) Örnek: · ÖÖÖ2 = Ö2 = Ö2 Soru-12 Ö2Ö2Ö2 ifadesinin eşiti nedir? Çözüm Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım. Ö2Ö2Ö2 = ÖÖ23.2Ö2 = ÖÖÖ220.2 = Ö221 = Ö27 = Ö128 dir. 3-) İç İçe Sonsuz Kökler a) ÖaÖaÖa... = Öa ÖaÖaÖa... = x Þ Öa.x = x x Þ x = Öa Örnekler: · Ö8Ö8Ö8... = Ö8 =2 · Ö7Ö7Ö7... = Ö7 = 7 dir. b) Öa:Öa:Öa: ... = Öa Öa:Öa:Öa: ... = x Þ Öa:x = x x Þ x = Öa şeklinde doğruluğu gösterilebilir. Örnek: · Ö8:Ö8:Ö8: ... = Ö8 = 2 dir. c) Öa+Öa+Öa+ ... = (1+Ö1+4a) / (2) (a>0) Öa-Öa-Öa- ... = (-1+Ö1+4a) / (2) (a³0) Öa±Öa±Öa± ... = x Þ Öa±x =x x Þ a±x = x2 Þ (±1+Ö1+4a) / 2 şeklinde doğruluğu gösterilebilir. Örnek: Ö5+Ö5+Ö5+ ... = x Þ Ö5+x = x Þ 5+x = x2 x Þ x2 – x – 5 = 0 Þ x = (1+Ö1+4.5)/(2) Þ x = (1+Ö21)/(2) dir. Not: a > 0 olmak üzere, Öa(a+1)+Öa(a+1)+Öa(a+1)+ ... = a+1 Öa(a+1)-Öa(a+1)-Öa(a+1)- ... = a Örnek: · Ö12+Ö12+Ö12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4) 3.4 · Ö30-Ö30-Ö30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6) 6.5 ÖSS SORULARI (1988-1997) 1997/SAYISAL Soru No: 2 (Ö40 . Ö18) / Ö80 İşleminin sonucu kaçtır? A)3 B)2 C)1 D)4Ö5 E)2Ö5 Çözüm Ö(40.18) / 80 = Ö9 = 3 CEVAP A Soru No: 4 Ö0,00256 . Ö(0,081)-1 İşleminin sonucu kaçtır? A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4 Çözüm Ö(0,4)4 . Ö[(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1 = 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B Soru No: 25 Ö25/64 + (1/9) – (5/12) İşleminin sonucu kaçtır? A)Ö5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24 Çözüm Ö(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = Ö[(5/8)–(1/3)]2 = (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E 1996/SAYISAL Soru No: 10 0,09’un karekökü kaçtır? A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03 Çözüm Ö0,09 = Ö(0,3)2 = 0,3 CEVAP D Soru No: 11 (Ö0,48 - Ö0,27)/Ö1,47 İşleminin sonucu kaçtır? A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03 Çözüm (Ö3.0,16 - Ö3.0,9) = (0,4Ö3 – 0,3Ö3)/0,7Ö3 =(0,1Ö3)/(0,7Ö3) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A Soru No: 12 [3 / ((3 + 2Ö2)]+[3 / (3 - 2Ö2)] İşleminin sonucu kaçtır? A)6 B)9 C)12 D)16 E)18 Çözüm {[3.(3-2Ö2)]/[9-8]}+{[3.(3+2Ö2)]/[9-8]} = [9-6Ö2]+[9+6Ö2] = 18 CEVAP E 1995/SAYISAL Soru No: 12 Ö9+Ö(-4)2-Ö(-5)2 İşleminin sonucu kaçtır? A)0 B)1 C)2 D)10 E)11 Çözüm ½3½ + ½-4½ - ½-5½ = 3 – (-4) – [-(-5)] = 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C 1994/SAYISAL Soru No: 11 a = Ö6+1 ve b = Ö6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır? A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7 Çözüm A+b = 2Ö6 ve a.b = 5 (a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab) = [(a+b)-2ab]/(ab) = [(2Ö6)2 – 2.5]/5 = (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D 1992/SAYISAL Soru No: 8 Öa2 = ½a½ şeklinde tanımlandığına göre, [Ö(-3)2 + Ö9 - Ö(-9)2]/[Ö(-3)2] İşleminin sonucu kaçtır? A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9 Çözüm (-½-3½ + ½3½ - ½-9½) / (½-3½) = (-3+3-9)/3 =-9/3 = -3 CEVAP B 1991/SAYISAL Soru No: 13 (Ö3.Ö12)/(Ö0,16 + Ö0,36) İşleminin sonucu kaçtır? A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)2Ö3 Çözüm [Ö3.12]/[Ö(0,4)2+Ö(0,6)2] = (Ö36)/(0,4+0,6) = 6/1 = 6 CEVAP C 1990/SAYISAL Soru No: 11 [1/(3-Ö2)] + [1/(3+Ö2)] İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)6 B)3 C)2 D)3+Ö2 E)3-Ö2 Çözüm [(3+Ö2)/(9-8)]+[(3-Ö2)/(9-8)] = (3 + 2Ö2 + 3 - 2Ö2) = 6 CEVAP A Soru No: 22 Ö(-4)2 - Ö42 – (-2)2 İşleminin sonucu kaçtır? A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8 Çözüm ½-4½-½4½-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP E --------------Tualimforum İmzam-------------- Aksini Belirtmediğim Takdirde Yazdığım Konular ALINTIDIR Liseler - Anadolu Liseleri - Fen Liseleri Anaokulu - İlköğretim Sınav Soruları ve Ders Notları | |||
|  |
