tualimforum.com - Gamma Dağılımı

Gamma Dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tamsayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre http://upload.wikimedia.org/math/d/9...7d8fd9fcdc.png olur.

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...bution_pdf.png

Yığmalı dağılım fonksiyonu

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...bution_cdf.png

Karakteristikler

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

http://upload.wikimedia.org/math/a/2...cd32fd0969.png

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/5...e480b89949.png

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi α = k ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi β = 1 / θ kullanılarak şöyle elde edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/c/8...02008ae0d6.png

Eger α bir pozitif tamsayı ise, o halde

Γ(α) = (α − 1)!

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/d...b3fc3676c8.png

Özellikler

Toplama

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken Xiin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde

http://upload.wikimedia.org/math/3/6...0c4853a6d0.png

Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri k − 1 ve − 1 / θ; ve doğal istatistikleri X ve ln(X) olur.

Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/a/d...cac1f6fb12.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/f...2a11b18df4.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/1...a34096feb6.png

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımı

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/9...c36cb7ae75.png

Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

http://upload.wikimedia.org/math/d/d...56ddbcdb70.png

Parametre tahmini

Maksimum olabilirlilik tahmini

Birbirlerinden bagimsiz ve ayni dagilim gosteren N sayida gozlem , , http://upload.wikimedia.org/math/4/5...30180efcf7.png, icin olabilirlik fonksiyonu sudur:

http://upload.wikimedia.org/math/d/3...20748e13de.png

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

http://upload.wikimedia.org/math/1/b...89a7e1abb8.png

Bunun θ'ya gore maksimim degerini bulmak icin bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi icin maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

http://upload.wikimedia.org/math/3/2...7a7723df81.png

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

http://upload.wikimedia.org/math/6/9...7a883f05b7.png

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak icin birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

http://upload.wikimedia.org/math/1/e...200db6265f.png

Burada

http://upload.wikimedia.org/math/8/6...1c8ad22719.png

olup bir digamam fonksiyonudur.

k icin kapali-sekilli bir cozum bulunmamaktadir. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gosterir ve bunun icin bir numerik cozum istenirse, ornegin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik cozumler icin ilk deger ya "momentler metodu" kullanilarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/b...05b97ef10a.png

Eger su ifadeyi kullanirsak

http://upload.wikimedia.org/math/3/7...7318ae973e.png

k yaklasik su degerdedir:

http://upload.wikimedia.org/math/8/8...acf092b4e4.png

Bu genellikle gercek degerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yontemi icin iyilestirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmistir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/e...fd943801aa.png

burada http://upload.wikimedia.org/math/6/7...a639b92575.png trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini cok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkani vardir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/c...1a978c479e.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/a...e46f9bf8a5.png

Ayrintilar icin bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen degerde k ve bilinmeyen degerde 'θ, icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu (θ icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/2...d36776ec2a.png

Su ifade verilsin

http://upload.wikimedia.org/math/a/8...752353b73c.png

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanilarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

http://upload.wikimedia.org/math/b/9...d73fec9679.png

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.

http://upload.wikimedia.org/math/b/1...bfcc10fec3.png

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:

http://upload.wikimedia.org/math/c/0...562df0022c.png

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

http://upload.wikimedia.org/math/a/f...d315db0a94.png

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi

İlişkili dağılımlar

Özel dağılımlar

http://upload.wikimedia.org/math/f/8...5896eea868.png