tualimforum.com - Euler Özdeşliği - Euler Özdeşliği Nedir

Euler Özdeşliği - Euler Özdeşliği Nedir - Euler Özdeşliği Hakkında

http://i26.tinypic.com/2s9w0i9.gif
http://i28.tinypic.com/29e135l.png

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler (bak. Leonhard Euler) tarafından bulunan eşitlik

http://i25.tinypic.com/2jcwqqg.png

dır. Burada,

1. http://i29.tinypic.com/eb7atl.png, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,
2. http://i32.tinypic.com/vr7os2.png, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,
3. http://i29.tinypic.com/20ixcom.png, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder.

Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır.

Özdeşliğin Doğası
Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır. Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir. Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

* 0 sayısı
* 1 sayısı
* Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
* Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (bak. e sayısı ≈ 2.71828)
* Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı

Özdeşliğe İlişkin Düşünceler
Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır. Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir.
Paul Nahin'in Dr. Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır. Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır.
Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür.
Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır.
19. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir:

"Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz."

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir:

"Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor."

Çıkarımı

http://i31.tinypic.com/qoy2at.png

Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur. Euler formülü her x
gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır.

http://i26.tinypic.com/2zsr774.png

http://i31.tinypic.com/103snma.png

eşitliği sağlanıyorsa

http://i28.tinypic.com/33azztu.png

ifadesi elde edilir. Bunun nedeni

http://i31.tinypic.com/5mwyzr.png

ve

http://i29.tinypic.com/21ag3e1.png

eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir.

http://i27.tinypic.com/2lstoyb.png

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür.

http://i29.tinypic.com/25zmk5l.png

Genelleme
Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar.

http://i27.tinypic.com/5lxs1e.png

Atıf Sorunu
Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır. Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler. (Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluşturabilir.) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur.

Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu yüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) çokyüzlü denir. Konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Euler Teoremi olarak bilinen bir bağıntı vardır.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2

Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (İspatı tümevarım ile yapılabilir)

Bazı bilim adamlarına göre, bu bağıntı Descartes’a aittir. Bunu ileri sürmelerinin sebebi de, Descartes’a ait olan bir teoremin doğrudan sonuçlarından birinin de yukarıdaki bağıntı olmasıdır. Ancak bu bağıntıyı ilk kez 1750 yılında açıkça ortaya atan kişi Euler olduğu bilinmektedir. Euler’in amacı, çokyüzlüleri sınıflandırabilmekti. Ancak bunu yapabilmek için sadece yüzlerin sayısı yeterli değildi; ayrıt köşe sayıları da incelenmeliydi. İşte Euler incelemeleri sırasında bu üç sayı arasındaki bağıntıyı keşfetti. Bağıntının kesin ispatı ise ancak 1847 yılında C.von Saudt tarafından yapılabildi.