tualimforum.com - Vieta Formülleri

Vieta Formülleri
Vieta Formülleri - Vieta Formülleri Nedir

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Eğer http://upload.wikimedia.org/math/1/6...afc811b03c.png derecesi http://upload.wikimedia.org/math/f/e...caac63bc66.png olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani http://upload.wikimedia.org/math/a/4...2d88dd59d8.png sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: http://upload.wikimedia.org/math/e/4...918d266697.png Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

http://upload.wikimedia.org/math/3/a...4484d97698.png

Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

http://upload.wikimedia.org/math/9/2...232ff59dc5.png şeklinde her http://upload.wikimedia.org/math/f/4...e6d9eff4f3.png yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

http://upload.wikimedia.org/math/9/d...0ee24f1c26.png Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı
Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir: http://upload.wikimedia.org/math/d/8...4306bf756f.png bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, X.'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.