tualimforum.com - İntegral

İntegral

Tanım: aralığını özelliğini sağlayan noktaları yardımıyla n tane a aralığa bölelim.
kümesine aralığının bir parçalanması veya bölüntüsü denir.
, , ..........., aralıklarına ’nin P parçalanmasına karşılık gelen kapalı alt aralıkları
, ,............, aralıklarına da açık alt aralıkları denir.
sayısına aralığının boyu veya ölçüsü denir. Alt aralıkların boylarının en büyüğüne P parçalanmasının normu veya maksimal çap denir. ile gösterilir. Şu halde;
’dir.
Eğer tüm alt aralıkların boyları birbirine eşit ise bu parçalanmaya düzgün parçalanma denir.
Bir aralığının sonsuz çoklukta parçalanması vardır. Bu parçalanmalardan bazılarını karşılaştırmak mümkündür.
Tanım: aralığının iki parçalanması ve olsun. Eğer ise parçalanması ’den daha ince veya daha sıktır denir.
Örnek: aralığının iki parçalanması ve olsun. Bu iki parçalanmayı ve bu parçalanmaların normlarını karşılaştırınız.
Çözüm: olduğundan ’den daha incedir.
, olduğundan > ’dir.
Bir aralığının parçalanmaları için, ise olacağı açıktır. Yani parçalanma inceldikçe normu küçülür. ’nin sıfıra yaklaşması demek her bir alt aralığın boyunun sıfıra yaklaşması ve dolayısıyla alt aralıkların sayısı olan n’nin sınırsız olarak büyümesi yani değerine yaklaşması demektir. Bunun karşıtı doğru değildir. Yani olması ’nin sıfıra yaklaşmasını gerektirmez.
Örnek: parçalanması göz önüne alındığında için olur. Dolayısıyla için dır.
Sonuç: Eğer P parçalanması düzgün ise bu takdirde önermesi doğrudur.
Tanım: f, fonksiyonu sürekli olsun. aralığının parçalanması için

olsun.
ve toplamlarına sırası ile f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen alt toplamı ve üst toplamı adı verilir.
alt aralığında alınan herhangi bir nokta olmak üzere
toplamına f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen bir Riemann toplamı denir.
Riemann toplamı, noktalarını seçilişine bağlıdır.
(III. grafikte olarak aralığının orta noktaları alınmıştır.)
Her P parçalanması için
olacağı açıktır.

Parçalanma inceldikçe alt toplamlar artar, üste toplamlar azalır. Bazı fonksiyonlar için üst ve alt toplamla farkı sıfıra yaklaşır. Bu durumda ve toplamları aynı bir I sayısına yaklaşır.
olduğunda, eğrisi, 0x-ekseni, ve doğruları arasında bir sayıdır.
Örnek: fonksiyonunun parçalanmasına karşılık gelen alt ve üst toplamlarını bulunuz. eğrisi, 0x-ekseni, ve doğruları arasında kalan bölgenin alanı hangi sayılar arasındadır? Aynı soruları parçalanması için cevaplandırınız.
Çözüm: fonksiyonu aralığında arta olduğundan aralığında en küçük değerini en büyük değerini noktasında alır.

parçalanması için;

yazılabilir.

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi parçalanma inceldikçe alt toplam artmakta, üst toplam azalmakta, dolayısıyla her ikisi de Riemann toplamına yaklaşmaktadır. Eğer alt ve üst toplamlar aynı bir I sayısına yaklaşırsa Riemann toplamı da aynı I sayısına yaklaşır.
Tanım : f[a,b] üzerinde tanımlı, sınırlı bir fonksiyon olsun. Eğer limiti varsa, bu limite f’nin [a,b] aralığındaki belirli integrali denir ve ile gösterilir. Bu durumda f[a,b] üzerinde integrallenebilirdir denir.
Örnek: f(x)=x2 ile verilen f fonksiyonunun [0,1] aralığındaki integralini hesaplayınız.
Çözüm: [0,1] aralığını eşit uzunluklu n parçaya bölelim. Bu durumda her bir alt aralığın alt boyu
birim olur. Parçalanmanın noktaları
x0 = 0 , x1 = , x2 = ,........xk = ,................xn=1 olacaktır.
[xk-1,xk] aralığında fonksiyon en küçük değerini xk-1, en büyük değerini xk noktasında alır. Buna göre;

=
=
U(f,p) =
=
= olur. Şu halde;
yazılabilir.
Parçalanma düzgün olduğundan
|P| ® 0 Û n ® dır. Buna göre
Þ
bulunur.
Teorem : f:[a,b]®IR fonksiyonu sınırlı olsun. f nin [a,b] üzerinde integrallenebilir olması için gerek ve yeter şart, her için,
U(f,P)-A(f,P) < (Riemann şartı)
kalacak şekilde [a,b] aralığının bir P parçasının varolmasıdır.
İspat :Þ[a,b] aralığında, f’nin integrallenebileceğini düşünelim ve her sayısına karşılık U(f,P)-A(f,P) < bağıntısını gerçekleyen, [a,b] aralığına ait bir P parçasının var olduğunu gösterelim. f[a,b] aralığında integrallenebildiğinden,
yazılır.
Her sayısı ve [a,b] aralığının P1,P2 parçalanmaları için;

yazılır.
ve (2) den, U(P1)- A(P1)< olduğu açıktır.
P = P1ÈP2 olsun. P,P1 ve P2 nin incelmişi olduğundan,
A(f,P1) A(f,P) U(f,P) U(f,P2) dir. Buna göre;
U(f,P) - A(f,P) U(f,P2)- A(f,P1) < elde edilir.
Ü: U(f,P) - A(f,P) < bağıntısını gerçekleyen herhangi bir sayısına karşılık [a,b] aralığının bir P parçalanması var olsun. buradan fonksiyonunun [a.b] aralığında integrallenebileceğini gösterelim.
nin tanımında hemen
A(f,P) yazılır. Buradan
0 yazılır. Bu eşitsizlik her sayısı için doğru olduğundan,
elde edilir. Bu da f’nin [a.b] aralığında integrallenebileceğini gösterir.
Örnek:
f(c) =
ile verilmiş f fonksiyonunun [0,1] aralığında integrallenemeyeceğini gösteriniz.
Çözüm : [0,1] aralığının P1 = düzgün ayrışımını göz önüne alalım.
gibi her alt aralıkta rasyonel ve irasyonel sayılar bulanacağından,
m1 = m2 = m3 =.................................= mn =0
M1 = M2 = M3 =.................................= Mn =1 olduğu hemen görülür.
Buradan,
A(f,Pn) =
U(f,Pn) = bulunur.
U(f,Pn) - A(f,Pn) = 1-0 = 1 olur. olursa 1 olduğundan
için U(f,Pn) - A(f,Pn) < şartını sağlamaz.
Teorem : f:[a,b] ®IR fonksiyonu, [a,b] aralığında monoton bir fonksiyon ise, [a,b] aralığında integrallenebilir.
İspat : f’nin [a,b] aralığında artan bir fonksiyon olduğunu düşünelim. f, artan olduğundan ; f(a)¹f(b) dir.
için |P|< olacak biçimde,[a,b] aralığının bir P ayrışımı göz önüne alalım. f fonksiyonu artan olduğundan f(a)-f(b)>0 ve [xk-1,xk] aralığı için
mk = ebas {f(x): x [xk-1,xk]}=f(xk-1)
Mk = eküs {f(x): x [xk-1,xk]}=f(xk) olduğu hemen söylenebilir.
Öyleyse ;

xa = a , xn = b olduğundan
U(t,P)-A(f,P) < elde edilir.
Teorem : f:[a,b] ®IR fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ise, [a,b] aralığında integrallenebilir.
İspat :f fonksiyonu, [a,b] aralığında sürekli ise [xk-1,xk] alt aralığında düzgün süreklidir.
mk = f(ck), ck [xk-1,xk]
Mk = f(dk), dk [xk-1,xk] olsun.
Öyleyse için |dk-ck|< olacak biçimde bir sayısı vardır. Buna göre için olacak biçimde koşulunun gerçekleşmesini sağlayan,[a,b] aralığının bir P ayrışımı vardır. P ayrışımı vardır. P ayrışımına göre,

Þ
U(t,P)-A(f,P) < elde edilir.
EGRİ ALTINDAKİ ALAN
y=f(x) bir [a,b] aralığında sürekli ve pozitif bir fonksiyon olsun. bu fonksiyonun göstermiş olduğu eğri üzerinde x = a apsisli BC ordinatı ve herhangi x apsisli ED ordinatını gözönüne alalım.
BCDE alanının değeri A olsun.x’e bir artımı verilirse y de bir artımı olarak KG durumunu alır. A alanının x’in artımına karşılık olan artımı da DEKG alanı olup değeri olsun. DEKH ve JEKG alanlarını tamamlayalım. DEKG alanı JEKG alanından küçük ve DEKH alanından büyüktür.
Buna göre;
yazılır ve her taraf e bölünürse
elde edilir. Şimdi artımını sıfıra yaklaştıralım. O takdirde
olarak
veya dA = ydx = f(x)dx olup her iki tarafın integrali eşitlenirse
elde edilir. Sabitini belirtmek üzere x=0 için A=0 olduğu gözönüne alınırsa
0 = q(a) + c ve c = - olur.
Buna göre A=q(x)-q(a) bulunur.
y=f(x) eğrisinin x=a , x=b doğruları ve 0x ekseni ile sınırladığı olan hesaplanmak istenirse A ifadesinde x yerine b koymak yeterli olur. O halde söz konusu olan
A=q(b)-q(a) dır. q(x).q(a) ifadesi işareti ile gösterilir.
Buna göre;

=[q(b)+c]-[q(a)+c] = q(b)-q(a)
burada integrasyon sabiti yok olmuş ve sonuç belirli bir sayı olarak elde edilmiştir. Bu nedenle
integraline belirli integrali denir. a’ ya integralin alt sınırı, b’ye de üst sınırı denir.
Sonuç olarak y=f(x) eğrisi, x=a, x=b ve y=0 (0x ekseni) doğrularının sınırladığı alan
dq(x)=f(x)dx
A= =q(b).q(a) dır.
BELİRLİ İNTEGRALİN BAZI ÖZELLİKLERİ
y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ise;
=- dır.
* dq(x) =f(x)dx olarak
= q(b)-q(a) ; = q(a)-q(b) olup
=- bulunur.
y=f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve a = + dır.
* = q(c)-q(a) ve = q(b)-q(c)
+ = q(c)-q(a)+q(b)-q(c)
= q(b)-q(a)
= bulunur.